数学中的欧拉公式,$e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)$,将指数、复数和三角函数几个看起来毫无关系的几个概念联系了起来,并导出了著名“上帝公式”:$e^{i\pi}+1=0$
证明
为了将指数和三角函数联系起来,需要分别将二者变换到相同的域中,首先想到的就是泰勒公式。泰勒公式可以将任意函数变换成多项式形式,公式如下:
取$x_0=0$,则公式可以简化为:
使用泰勒公式将$e^{ix}$展开:
先对$cos(x)$求$n$阶微分:
同理,对$sin(x)$求$n$阶微分:
使用泰勒公式将$cos(x)$展开:
同理,使用泰勒公式将$sin(x)$展开:
比较上述公式,可以发现$e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)$成立,将$x=\pi$代入即可得到$e^{i\pi}+1=0$。
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